Prinsip Induksi Matematika. LANGKAH INDUKTIF Langkah induksi matematika pada bagian ini adalah menunjukkan proposisi P ( k) → P ( k + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif k Langkah pertama adalah mengasumsikan bahwa P ( k) benar yaitu untuk setiap bilangan bulat positif k berlaku 1 + 3 + 5 + ⋅ + ( 2 k − 1) = k 2.
Prinsip Induksi yang Dirampatkan •Prinsip induksi sederhana hanya bisa dipakai untuk n 1 •Untuk sembarang n n 0 kita menggunakan prinsip induksi yang dirampatkan (generalized induction principle) •Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n n 0 Untuk.
Induksi Matematika Makalah, Prinsip, dan Contoh Soal
Pengertian Induksi MatematikaPrinsip Induksi MatematikaInduksi Matematika SederhanaInduksi Matematika DiperluasInduksi Matematika KuatJenisJenis Induksi MatematikaDeret BilanganBilangan Bulat Hasil PembagianInduksi matematika yaitu sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli Induksi matematika juga merupakan salah satu metode baku untuk pembuktian di bidang matematika Selain itu induksi matematika juga bisa meminimalisir langkahlangkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk didalam himpunan kebenaran Induksi matematika hanya bisa dipakai untuk membuktikan kebenaran sebuah pernyataan/ rumus namun tidak dapat dipakai untuk menurunkan rumus Berikut ini merupakan beberapa contoh pernyataan matematika yang bisa dibuktikan kebenarannya menggunakan induksi matematika Ada cara mudah untuk mengetahui prinsip kerja dari induksi matematika yakni dengan mengamati efek domino yang diawali dari pertanyaan “Kapan semua domino akan jatuh?” Ada dua syarat untuk dipenuhi agar semua domino diatas terjatuh yakni 1 PertamaDomino ke 1 harus jatuh 2 Keduabenar bahwa masingmasing domino yang jatuh akan menimpa tepat pada satu domino Induksi matematika mempunyai langkahlangkah/ prinsip yang harus ditempuh untuk dapat membuktikan bahwa benarnya suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli Berikut ini merupakan prinsipprinsip induksi matematika menurut jenisnya Langkahlangkah dalam induksi matematika sederhana 1 Langkah dasarBuktikan bahwa sebuah pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n) 2 Langkah induksiJika suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n) maka pernyataan tersebut juga harus berlaku untuk P(k) atau P(K + 1) Contohnya Buktikanlah bahwa penjumlahan untuk n bilangan asli berlaku Jawab 1 Langkah dasar Karena P(1) = Benar maka berlaku P(n) benar 1 Langkah induksi Jika P(1) benar maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P (k + 1) dengan k ≥ n Sehingga Karena P(K +1) sesuai dengan bentuk pernyataan P(n) maka P(k) bernilai benar Jadi pernyataan Bernilai benar untuk semua bilangan n ≥ 1 Lanjut ke Tiap pernyataan yang didalamnya dimuat n bilangan asli tidak harus dimulai dari angka 1 Oleh karena itulah induksi matematika bisa diperluas menggunakan langkahlangkah berikut 1 Langkah dasarBuktikan bahwa sebuah pernyataan berlaku untuk P(m) 2 Langkah induksiBuktikan bahwa jika suatu pernyataan berlaku untuk P(k) dengan K ≥ m maka pernyataan tersebut juga harus berlaku untuk P(K + 1) Prinsip dasar dari induksi matematika kuat ini berbeda dengan sebelumnya yang mana kita hanya perlu membuktikan bahwa P(1) benar maka pada untuk teori induksi kuat pernyatan harus bernilai benar untuk Selain itu kita juga perlu membuktikan pernyataan benar untuk P(k + 1) Berikut ini merupakan langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan pembuktian pernyataan pada induksi matematika kuat 1 Langkah dasarMulamula buktikan bahwa P(n) benar 2 Langkah induksiApabila Benar untuk k ≥ n maka gunakan hal tersebut untuk membuktika bahwa P(k + 1) juga benar Baca Juga – Rangkuman Rumus Matematika Kelas 11 Lengkap dan Terbaru – SMA Kelas 12 Rangkuman Rumus Matematika Lengkap Sebagaimana yang telah diterangkan sebelumnya induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asliInduksi matematika juga merupakan salah satu metode baku untuk pembuktian di bidang matematika Selain itu induksi matematika juga bisa meminimalisir langkahlangkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk didalam himpunan kebenaran Induksi matematika dibagi menjadi dua jenis yaitu untuk membuktikan deret bilangan dan bilangan hasil pembagian Sebelum lanjut ke pembahasan pembuktian deret bilangan ada beberapa hal perlu kita pahami terkait dengan deret yakni Contohderet bilangan Jawab 1 Langkah dasar Karena P(1) = Benar maka berlaku P(n) benar 1 Langkah Induksi Jika P(1) benar maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P(K +1) dengan k ≥ n Sehingga Karena P(k + 1) mengikuti bentuk dari pernyataan P(n) maka P(k) benilai benar Jadi pernyataan Bernilai benar untuk semua bilangan n ≥ 1 Sebuah bilangan bisa dikatakan habis dibagi jika hasil dari pembagian tersebut berupa bilangan bulat Pernyataan “a habis dibagi oleh b” bersinonim dengan pernyataan 1 a kelipatan b 1 b membagi a 2 b faktor dari a jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a maka (p + q) juga habis dibagi a Contoh soaluntuk bilangan bulat hasil pembagian Buktikan bahwa 5n– 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan positif n! Jawab 1 Langkah dasar P(1) = 511 = 4 karena 4 habis dibagi dengan 4 maka P(1) = 1 benar sehingga P(n) benar 1 Langkah induksi Jika P(1) benar maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P (k + 1) dengan k ≥ n P(k) = 5k– 1 benar habis dibagi 4 Sehingga Karena 4 x 5k dan 5k – 1 habis dibagi oleh 4 maka 5k+1 – 1 habis dibagi 4 sehingga pernyataan 5n– 1 nilainya benar untuk semua bilangan positif n Nah sobat demikianlah materi mengenai Induksi Matematika Prinsip dan JenisjenisnyaSedikit yang dapat kami sampaikan semoga bermanfaat dan sampai jumpa lagi pad.
Induksi Matematika Institut Teknologi Bandung
Pengertian Induksi MatematikaPrinsip Induksi MatematikaJenis – Jenis Induksi MatematikaInduksi matematika adalah suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli Induksi matematika merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika Induksi matematika ini dapat meminimalisir langkah – langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam himpunan kebenaran Induksi matematika hanya hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan atau rumus dan tidak bisa digunakan untuk menurunkan rumus Berikut ini merupakan beberapa contoh dari pernyataan Matematika yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan induksi matematika bilangan asli habis dibagi untuk bilangan asli untuk masing – masing bilangan asli Cara mudah untuk mengetahui bagaimana prinsip kerja induksi matematika yaitu dengan mengamati efek domino Diawali dengan sebuah pertanyaan “kapan seluruh domino akan jatuh?” Terdapat dua keadaan yang harus dipenuhi supaya seluruh domino di atas terjatuh 1 Pertama domino Induksi matematika memiliki langkah – langkah (prinsip) yang harus ditempuh untuk membuktikan bahwa kebenaran suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli Berikut ialah prinsip – prinsip berdasarkan jenisnya Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya induksi matematika adalah suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli Induksi matematika merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika Induksi matematika ini dapat meminimalisir langkah – langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam himpunan kebenaran Induksi matematika terbagi menjadi dua jenis yaitu untuk membuktikan deret bilangan dan bilangan bulat hasil pembagian.
Induksi Matematika Pengertian Prinsip Dan Contoh Soal
Materi Induksi Matematika : Prinsip dan Jenisjenisnya
Prinsip Induksi Matematika haimatematika
Induksi Matematika: Prinsip dan Jenis Jenis (Lengkap
PengertianTujuanContohPrinsipPrinsipLangkahLangkah PembuktianPembuktian DeretPembuktian KeterbagianPembuktian PertidaksamaanInduksi Matematika merupakan salah satu metode pembuktian dimana dilakukan secara deduktif digunakan demi membuktikan pernyataan matematika yang bergantung terhadap himpunan bilangan yang terinci rapih (well ordered set) Misalnya bilangan asli maupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan aslinya Perlu digarisbawahi jika induksi matematika ini hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran terhadap sebuah pernyataan ataupun rumus tidak untuk menurunkan rumus Lebih tegasnya atau intinya induksi matematika ini tidak bisa digunakan untuk menurunkan maupun menemukan rumus Setelah membaca penjelasan sebelumnya berikut beberapa contoh pernyataan matematika yang bisa dibuktikan melalui induksi matematika P(n) 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) n adalah bilangan asli P(n) 6n + 4 habis dibagi 5 untuk n sendiri bilangan asli P(n) 4n < 2n untuk tiap bilangan asli n ≥ 4 Cara awal yang paling mudah agar memahami prinsip kerja induksi matematika ialah mengamati efek dominonya Kita bisa mulai dengan mengajukan sebuah pertanyaan “kapan semua domino akan jatuh?” Ada dua syarat kondisi yang harus terpenuhi supaya semua domino tersebut jatuh Pertama domino pertama atau 1 harus jatuh Kedua benar jika setiap domino yang jatuh maka akan menjatuhkan tepat satu domino pada berikutnya Maksudnya bahwa domino 1 jatuh maka domino 2 juga pasti akan jatuh lalu jika domino 2 jatuh maka domino 3 juga pasti akan jatuh begitu seterusnya sampai akhir Secara umum bisa dikatakan jika domino k jatuh maka domino (k + 1) juga akan jatuhserta implikasi hal ini berlak Seperti P(n) merupakan sebuah pernyataan dimana bergantung pada n P(n) benar jika setiap n bilangan asli dapat memenuhi 2 kondisi dibawah ini 1 P(1) benar berarti untuk n = 1 maka P(n) adalah bernilai benar 2 Tiap bilangan asli k maka P(k) benar maka P(k + 1) ialah juga benar Prinsip diatas bisa diperluas untuk pernyataan yang bergantung terhadap himpunan bagian tak kosong dari bilangan aslinya Perluasan prinsip Seperti P(n) merupakan sebuah pernyataan yang bergantung pada n P(n) benar untuk setiap bilangan aslinya n ≥ m jika telah memenuhi 2 kondisi syarat berikut 1 P(m) benar berarti untuk n = m maka P(n) merupakan bernilai benar 2 Tiap bilangan asli k ≥ m maka P(k) benar dan P(k + 1) ialah juga benar Untuk menunjukkan P(1) ialah benar kita cukup mensubstitusikan n = 1 dalam P(n) Jika P(n) disajikan pada bentuk persamaan berarti ruas kiri harus sama dengan ruas kanannya pada saat sudah n = 1 barulah dapat disimpulkan P(1) ialah benar Dengan cara yang sama Setelah mengetahui prinsipnya berikut langkahlangkah pembuktian induksi matematika yang dapat dijabarkan sebagai berikut 1 Langkah Dasar Tunjukkan jika P(1) ialah benar 2 Langkah Induksi Asumsikan bahwa P(k) juga benar untuk tiap bilangan asli selanjutnya tunjukkan P(k+ 1) juga pasti benar berdasarkan asumsi itu 3 Kesimpulan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n tersebut Berikut hal – hal yang perlu diperhatikan menyangkut deret sebelum masuk pada pembuktian deretnya Jika P(n) u1 + u2 + u3 + + un = Sn maka P(1) u1 = S1 P(k) u1 + u2 + u3 + + uk = Sk P(k + 1) u1 + u2 + u3 + + uk + uk+1 = Sk+1 Contoh Buktikan 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) buat tiap n bilangan asli Jawab P(n) 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) Segera dibuktikan P(n) benar untuk tiap n ∈ N Langkah Dasar Segera ditunjukkan P(1) ialah benar 2 = 1(1 + 1) Maka P(1) ialah benar Langkah Induksi Asumsikan jika P(k) benar ialah 2 + 4 + 6 + + 2k = k(k + 1) k ∈ N Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar yaitu 2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) Hasil asumsi 2 + 4 + 6 + + 2k = k(k + 1) Lalu tambahkan kedua ruas kanan dan kiri dengan uk+1 2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 + 4 + 6 + + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1) Maka P(k + 1) ialah benar Berdasarkan prinsip yang telah dijelas Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan 1 a kelipatan b 2 b faktor dari a 3 b membagia “Jika p sudah habis dibagi a dan q sudah habis dibagi a sehingga (p + q) juga sudah habis dibagi a” Misalnya 4 dapat habis dibagi 2 dan 6 dapat habis dibagi 2 Sehingga (4 + 6) juga dapat habis dibagi 2 Contoh Buktikan jika 6n+ 4 habis dibagi 5 untuk tiap n merupakan bilangan asli Jawab P(n) 6n + 4 dapat habis dibagi 5 Maka segera dibuktikan P(n) benar untuk tiap n ∈ N Langkah Dasar Segera ditunjukkan P(1) benar 61 + 4 = 10 habis dibagi 5 Sehingga P(1) ialah benar Langkah Induksi Asumsikan jika P(k) benar yaitu 6k+ 4 dapat habis dibagi 5 k ∈ N Segera ditunjukkan P(k + 1) juga akan benar yaitu 6k+1+ 4 dapat habis dibagi 5 6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4 6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k+ 4 Karena 5(6k) dapat habis dibagi 5 dan 6k + 4 dapat habis dibagi 5 Sebabnya 5(6k) + 6k + 4 juga dapat habis dibagi 5 Sehingga P(k + 1) ialah benar Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibah Sebelum ke contoh mengenai ini berikut perhatikanlah sifatsifat pertidaksamaan yang biasa digunakan Sebelum masuk kedalam contoh soal alangkah bagusnya kita latihan terlebih dahulu menggunakan sifatsifat yang ada diatas agar dapat menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga dapat benar” Seperti P(k) 4k < 2k P(k + 1) 4(k + 1) < 2k+1 Sehingga diasumsikan jika P(k) benar untuk k ≥ 5 tunjukkan jika P(k + 1) juga ialah benar ! Ingatlah bahwa target awal ialah menunjukkan 4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k (TARGET) Pertama dapat dimulai dari ruas kiri bentuk pertidaksamaan diatas 4(k + 1) = 4k + 4 4(k + 1) .